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如何用夹逼定理证n^(1/n)的极限是1

1≤√(1+1/n)≤1+1/(2n) 【右边说明: [1+1/(2n)]²=1+1/n+1/(4n²)>1+1/n】 ∵lim(n→∞)1=1 lim(n→∞)[1+1/(2n)]=1 ∴lim(n→∞)√(1+1/n)=1

首先:((n+1)^a-n^a) > 0 其次:((n+1)^a-n^a) = n^a[(1+1/n)^a-1] 由于0 < a < 1为常数,1+1/n > 0 所以(1+1/n)^a < 1+1/n 所以有:n^a[(1+1/n)^a-1] < n^a(1+1/n-1) = (n^a)/n = 1/n^(1-a) 而0 < a < 1为常数,所以当n趋于无穷大时,分母趋于无穷大,...

0是对的 因为:1/(n+n)^2《1/(n+k)^2《1/(n)^2 所以:(n+1)/(n+n)^2《1/n^2+1/(n+1)^2+...+1/(n+n)^2《(n+1)/(n)^2 由于lim(n+1)/(n+n)^2=lim(n+1)/(n)^2=0, 由夹逼定理 :lim[1/n^2+1/(n+1)^2+...+1/(n+n)^2]=0

∵3^n<1+2^n+3^n<3^(n+1).(n=1,2,3,...)∴(3^n)^(1/n)<(1+2^n+3^n)^(1/n)<[3^(n+1)]^(1/n).即3<(1+2^n+3^n)^(1/n)<3^[(n+1)/n)--->3.(n--->∞).∴由“两边夹定理”知,原极限=3。

1

这个提示应该是不对的,用牛顿二项式定理只能得到(1+1/n)^n = 1+1+1/2!+1/3!+...+1/k!

3=lim{n→∞} (3^n)^1/n≤lim{n→∞} (1^n+2^n+3^n)^1/n≤lim{n→∞} (3*3^n)^1/n=3 ,由逼定理得极限为 3 。而 2=lim{n→∞} (2^n)^1/n≤lim{n→∞} (1^n+2^n+3^n)^1/n 等下界太小,不能夹逼。

若有疑问请追问哦~

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